Série de Grandi

Soit la suite suivante :
$$S={\displaystyle \sum _{n=0}}{-1}^n$$

Elle se développe simplement sous la forme d'une alternance de +1 et -1 :
$$S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-\dots$$

Une réponse naturelle serait de dire qu'elle est égale à 0 car chaque terme est annulé part le précédent ou le suivant.$$S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\dots =0$$

Mais si on se contentait de décaler les parenthèses d'un seul terme ?$$S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots =1$$

Il ne faut pas longtemps pour réaliser que cela est parfaitement logique. Cette série incrémentant et décrémentant à chaque itération. Le résultat de la série en fonction de n est donc alternativement 0 et 1. La série est donc divergente.

Calcul de la limite de la série

Il existe plusieurs méthodes pour calculer les limites des séries, y compris les divergentes. La plus simple consiste à simplement faire la moyenne des résultats pour tout n de la suite (méthode de Cesàro).

Les sommes partielles oscillent entre 1 et 0 :

En prenant la moyenne de ces sommes partielles, on obtient la somme de Césaro :

On obtient donc comme résultat assez étrange que la somme d'une succession de +1 et de -1 est égale à 1/2. Ce résultat est utilisé dans certaines démonstrations mathématiques encore plus étranges et pourtant factuellement correctes.