En Europe, on connait surtout ce théorème grâce à la démonstration qu'en fait Euclide dans ses Élements. Néanmoins, il existe un très grand nombre de démonstrations connues, anciennes et modernes. L'ouvrage The pythagorean proposition d'Elisha Scott Loomis en réunit plusieurs centaines !
Parmi les plus simples et élégantes, on trouve celle des carrés inscrits.
Il y a plusieurs manières d'obtenir la figure ci-dessus. La plus simple est de :
Ainsi on obtient deux carrés inscrits l'un dans l'autre. On en connait les mesures car chaque côté du carré basé sur c peut être considéré comme une autre hypoténuse d'un même triangle.
L'aire du carré externe violet est donc . Ce qui développé devient .
Mais on peut encore l'écrire comme la somme du petit carré et des 4 triangles . Ce qui, une fois développé, nous donne
Nous nous retrouvons donc avec l'égalité
Pour m=1 et n=2, on retrouve bien notre triplet de base {3; 4; 5}
Il existe des triangles possédant des valeurs remarquables et faciles à mémoriser. Voyez les figures ci-dessous.
L'aire du carré sur l'hypoténuse (orange) est égale à la somme des aires des deux carrés jaunes.
L'aire du triangle équilatéral sur l'hypoténuse (orange) est égale à la somme des aires des deux triangles équilatéraux jaunes.
L'aire du demi-cercle sur l'hypoténuse (orange) est égale à la somme des aires des deux demi-cercles jaunes.
Etc...
Un triplet de Pythagore est un groupe de trois nombres entiers qui peuvent former un triangle rectangle où chaque côté a une valeur égale à un nombre du triplet. Le triplet le plus connu est : {3; 4; 5} mais il en existe une infinité comme {5; 12; 13}, {8; 15; 17}, {7; 24; 25} {20; 21; 29}, etc...
À partir d'un seul triplet, on peut en obtenir une infinité d'autres. Il suffit pour cela de multiplier les dimensions d'un triplet de base (on apelle ces triplet de base, les triplets primitifs). Aisni, le triangle {3; 4; 5}, un fois ses dimensions doublées, deviendra {6; 8; 10}. On peut vérifier qu'il s'agit bien d'un triangle rectangle en mettant au carré les dimensions (36+64 est bien égal à 100)
Il existe une méthode pour générer les triplets pythagoriciens, la formule d'Euclide. Soit deux entiers m et n positifs et m supérieur à n, on peut générer le triplet de Pythagore (x; y; z) grâce aux formules :
On peut aller encore plus loins dans la spécialisation en cherchant les triplets dont les deux premiers nombres se succèdent. Par exemple :
Ces triangles rectangles sont donc quasi-isocèles. Ils sont à la fois en quantité infinie et rares (et de plus en plus rares en avançant dans les nombres de plus en plus grands).